多元函数一点偏导连续不一定可微

我们考虑函数：

f(x,y)={x2yx2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}

这个函数的图像大致是一个 “鞍形” 曲面，但有一个 奇怪的扭曲点 在 (0,0)(0,0) 处。

偏导数存在但不可微

函数在 x 轴上始终为 0。

函数在 y 轴上也始终为 0。

沿着 y = x 方向，函数像是 f(x)=x / 2 这样的一条斜线。

沿着 y = -x 方向，函数像是 f(x)= -x / 2 这样的一条斜线。

lim⁡(h,j)→(0,0)f(0+x,0+y)−f(0,0)−fx(0,0)x−fy(0,0)yx2+y2=∣x2y∣(x2+y2)3/2\lim_{(h,j)\to(0,0)}\frac{f(0+x,0+y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{|x^2y|}{(x^2+y^2)^{3/2}}

很神奇嗷，令 y = x，极限不是0，说明不可微！

为什么偏导数都连续，但是不可微

偏导数的定义：

fx(x,y)=∂∂x(x2yx2+y2)fy(x,y)=∂∂y(x2yx2+y2)f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right)\\f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right)

每个方向都连续，但是偏导数并不相同

可微 不一定 偏导连续

image-20250320164128290

image-20250320164158041

可微的定义是

lim⁡(h,k)→(0,0)f(a+h,b+k)−f(a,b)−fx(a,b)h−fy(a,b)kh2+k2=0\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)h-f_y(a,b)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0

偏导仅需存在即可，可以不连续。

图中函数

fx(x,y)=2xsin(1y) , fy(x,y)=−x2cos(1y)1y2fx(0,0)=0,fy(0,0)=0显然fy(x,y)在(0,0)存在但不连续此时函数可微,偏导不连续f_x(x,y) = 2xsin(\frac{1}{y})\space,\space f_y(x,y)=-x^2cos(\frac{1}{y})\frac{1}{y^2}\\ f_x(0,0)=0,f_y(0,0)=0\\ 显然f_y(x,y)在(0,0)存在但不连续\\ 此时函数可微,偏导不连续